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Envoyé par lélolibalou 
lélolibalou
notion de platitude : question !
il y a dix années
Bonjour,
Une question en passant :
Comment pourriez-vous expliciter simplement -à un total néophyte en maths- la notion de platitude en mathématique, en quoi consiste cette propriété ?
Tous les textes relatifs à cette notion sur lesquels je tombe via google demeurent hermétiques pour moi, la traitant comme entendue sans jamais rappeler de façon brève et claire ce qu'elle signifie exactement. :S
Par avance merci infiniment des réponses que vous pourrez apporter !:)
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Re: notion de platitude : question !
il y a dix années
Membre depuis : il y a douze années
Messages: 3 670
bonjour

en rhétorique un discours plat est un ensemble de platitudes
c'est-à-dire une expression sans relief, sans originalité, sans idée personnelle Lampe Rocaille Projecteur L Vente Éclairage À Led De Extérieur Laboratoire 18w Étanche 24w Chaude Projecteurs Couloir 0OPk8nw

en math une platitude est-elle une affirmation banale, triviale?
un théorème vide en quelque sorte
c'est possible mais le terme "platitude" est peu utilisée

cordialement
Meu
Re: notion de platitude : question !
il y a dix années
Je ne crois pas que lélolibalou voulait parler de platitude en ce sens-là...

Je peux parler de platitude pour un morphisme d'anneaux (commutatifs, unitaires) $A\to B$.

Sauf erreur,un tel morphisme est plat ssi, pour tout système $S$ d'équations linéaires homogènes à coefficients dans $A$, toute solution à coordonnées dans $B$ est combinaison linéaire (à coefficients dans $B$) de solutions à coordonnées dans $A$. (On a bien une telle propriété pour une extension de corps $K\subset L$, ou pour $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$, mais ce ne sont pas des exemples très intéressants).

La notion de platitude est très utile en géométrie algébrique. Un morphisme d'anneaux $A \to B$ correspond à un morphisme d'objets géométriques $f: Y=\mathrm{Spec} B\to X=\mathrm{Spec} A$. La platitude exprime alors le fait que la fibre $f^{-1}(x)$ varie de manière "continue", sans changement brusque (par exemple, sans saute de dimension), quand $x$ parcourt $X$ (je mets des guillemets, parce que c'est très approximatif).
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Je crois me souvenir que Dieudonné dit quelque part que la notion de platitude est une des plus malaisées à comprendre, mais mes souvenirs sont incertains.

Cordialement.
Re,

Un petit étonnement : si tu es, comme tu le prétends, un "total néophyte en maths", pourquoi t'intéresses-tu à la platitude en mathématiques? Est-ce bien au contexte algébrique ou algébro-géométrique que tu pensais?

A tout hasard, un petit exemple pas plat.

Soit $Y$ l'ensemble des $(u,v,w)$ de $\mathbb{R}^3$ tels que $v-u\,w=0$. Soit $X$ le plan des $(u,v)$ et $f:Y\to X$ la projection $(u,v,w)\mapsto (u,v)$. L'image réciproque par $f$ d'un point $(u,0)\in X$ avec $u\neq 0$ est réduite au point $(u,0,0)$. Par contre, pour $u=0$, il y a un saut brusque : $f^{-1}(0,0)$ est tout l'axe des $w$. Ce n'est pas plat du tout!

Le pendant algébrique de la projection $f$, c'est l'inclusion de l'anneau $A=\mathbb{R}[u,v]$ dans l'anneau $B=\mathbb{R}[u,v,w]/(v-u\,w)$. Considérons l'équation linéaire homogène à coefficients dans $A$ en les inconnues $(x,y)$ suivante : $v\,x-u\,y=0$. Les solutions de cette équation dans l'anneau $A$ sont toutes de la forme $(u\,P(u,v), v\,P(u,v))$. Dans l'anneau $B$, on a la solution $(1,w)$; puisque 1 n'est pas divisible par $u$ dans $B$, cette solution n'est surement pas combinaison linéaire à coefficients dans $B$ de solutions dans $A$. Donc $A\to B$ n'est pas plat.

Cordialement.
alf
Re: notion de platitude : question !
il y a dix années
Il y a aussi la notion de platitude en théorie du contrôle

on peut consulter le fichier joint pour se faire une idée précise :
[attachment 10438 xups.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - xups.pdf (705.8 KB)
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Re: notion de platitude : question !
il y a dix années
Membre depuis : il y a douze années
Messages: 950
Algébriquement, on peut aussi dire qu'un module $M$ est plat sur un anneau $A$ si le foncteur $\cdot\;\mathop{\otimes}\limits_{A}M$ est exact à gauche, mais je ne sais pas si c'est très parlant...
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loulilabali (peu importe le pseudo)
Re: notion de platitude : question !
il y a dix années
Bonjour à tous, merci pour vos réponses.
C’est lors d’une soutenance de thèse, sur un aspect d’un robot automobile, que j’ai entendu parler pour la première fois de "platitude" en mathématiques. Je n’avais pas les moyens de comprendre tous les développements et démonstrations du futur docteur, mais son passage sur cette notion m’a alors semblé parfaitement limpide. Je me souviens avoir trouvé le concept génial, sans pour autant pouvoir le restituer aujourd’hui. Et j’ai l’étrange intuition qu’il pourrait grandement me servir dans l’un de mes travaux (dans un tout autre domaine). Je ne peux en dire davantage pour l’instant, et ce serait de toute façon inutile. Il me faut d’abord pouvoir entendre pleinement ce que la platitude désigne en mathématiques, quelle conversion, calcul ou transformation de formules elle permet.
Je n’ai pas de connaissances suffisantes en la matière pour comprendre les réponses de Meu. Pouvez-vous tenter de les "traduire", en un langage beaucoup plus simple, pour les rendre intelligibles à quelqu’un qui aurait arrêté de suivre des enseignements de maths depuis le lycée ? ;)
…qu’est-ce qu’un morphisme d’anneaux ?
Merci beaucoup et à bientôt ! :)
Meu
Re: notion de platitude : question !

il y a dix années
Une chose est à peu prés claire, c'est qu'il ne doit pas s'agir de platitude au sens de l'algèbre commutative.
Comme tu nous en dit bien trop peu pour qu'on puisse se faire une idée plus précise de ce que tu cherches...
Par ailleurs, pourquoi ne demandes-tu pas à la personne qui a soutenu la thèse? Elle serait la plus indiquée pour te renseigner, non?

Cordialement.
alf Stade 1000w Lumens Conducteur 10000 D'inondation Conduit Lumière L'éclairage Pour Du Meanwell wOkP80Xn
Re: notion de platitude : question !
il y a dix années
salut

comme tu parles de robot, il doit y avoir de la commande sous-jacente et le pdf que j'ai mis en pièce jointe aborde précisément la platitude sous l'angle de la théorie du contrôle avec des exemples d'applications aux robots, systèmes mécaniques et autres...
Merci pour vos précision Meu et Alf. Je n'ai plus les moyens de contacter la personne qui a soutenu cette thèse hélas, cela fait plusieurs années et j'ai déjà fait des recherches, infructueuses. (Poser cette question sur un forum est une forme de dernier recours à vrai dire...)
J'ai commencé à éplucher ton pdf Alf, mais je patauge un peu trop. Je ne comprends pas les équations.
Pour revenir à ce que j'avais compris de la platitude : le doctorant s'en était servi pour convertir une formule "compliquée", impliquait ou prenait en compte un "relief" -duquel découlait les difficultés à l'analyser-, en une formule beaucoup plus simple, en "l'aplatissant". Si je me souviens bien, le calcul servait à l'élaboration du programme qui devait commander un mécanisme de direction du robot, au niveau de l'articulation des deux parties, comme pour la direction d'une voiture.
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